Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид "?

Правильный ответ:

если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично .

любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.

Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что $0=(\backslash lambda\; \_\{1\}e\_\{1\}+...+\backslash lambda\; \_\{k\}e\_\{k\}-\backslash upsilon\; ,\backslash \; e\_\{i\})=\backslash lambda\; \_\{i\}-(\backslash upsilon\; ,e\_\{i\})$, т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор .

• # Какой ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов x_{1}=(1,1,-1,-2)\\ x_{2}=(-2,1,5,11)\\ x_{3}=(0,3,5,7)\\ x_{4}=(3,-3,-3,-9) будет, если применить процесс ортогонализации?
• # Какой угол будет между векторами , ?
• # Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 2x_{1}^{^{\prime }2}-x_{2}^{^{\prime }2}+5x_{3}^{^{\prime }3},\ \ x_{1}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{1}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}
• # Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость (независимость) векторов \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\4 \\3 \\0 \\\end{array} \right)
• # Ранг матрицы $\left( \begin{array}{ccccc} 47 & -67 & 35 & 201 & 155 \\ 26 & 98 & 23 & -294 & 86 \\ 16 & -428 & 1 & 1284 & 52% \end{array}% \right) $ будет равен: