Решите простейшую вариационную задачу для функционала \backslash int\backslash limits\_0^\backslash pi\backslash left[(y\text{'}+y)^2+2y\backslash sin\{x\}\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=0,\; \backslash quad\; y(\backslash pi)=1.

Правильный ответ:

• # При каком наименьшем уравнение вида , где - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции и ?
• # У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&5x-8y+3 \\ \dot{y} &=&\ln{\frac{x}{y}} \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
• # Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&xy-x^2 \\ \dot{y} &=&y^2\\ \dot{z} &=&2yz+z^2 \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям , и . В ответе укажите значение при .
• # С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: x(x+1)^2y''+2(x+1)y'-2y=(x+1)^3e^x, \quad y(1)=2e, \quad y'(1)=2e^2+e. В ответе укажите значение .
• # Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0 наименьшего порядка , которое имеет частное решение . В ответе укажите сумму