Найти допустимые экстремали вариационной задачи: \backslash int\backslash limits\_0^\{\backslash pi/2\}\backslash left[y^2-2(y\text{'})^2+(y\text{'}\text{'})^2\backslash right]dx,\; \backslash quad\; y(0)=y\text{'}(0)=0,\; \backslash quad\; y\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)=1,\; \backslash quad\; y\text{'}\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)=\backslash frac2\backslash pi. В ответе введите значение .

Правильный ответ:

• # Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_1^2 x(y')^2 \, dx, \quad y(1)=0, \quad y(2)=12, \quad \int\limits_1^2 xy\,dx=9. В ответе укажите значение .
• # Найдите решение уравнения xy'=y \left (1+\ln{\frac{y}{x}}\right), удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение .
• # У системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\ln{(x^3-6e^y-1)}-y \\ \dot{y} &=&4x-4e^y-4 \end{array} \right. найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).
• # С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши: 2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=e^{-x}, \quad y(1)=y'(1)=0. В ответе укажите значение .
• # Найдите решение системы \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x-y-2z \\ \dot{y} &=&2x+y-3z \\ \dot{z} &=&2x-y+z \\ \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям , . В ответе укажите значение .