Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

Правильный ответ:

пусть . Тогда и $(Ax\_\{1\},x\_\{2\})=(x\_\{1\},A^\{\backslash ast\; \}x\_\{2\})=(x\_\{1\},\backslash lambda\; \_\{2\}x\_\{2\})=\%\; \backslash lambda\; \_\{2\}(x\_\{1\},x\_\{2\})$. Следовательно, .

инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.

для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

• # Какие операторы являются нелинейными?
• # Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3} G=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-10x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?
• # Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка ?
• # Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость векторов \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right)
• # Определите подпространства в трехвекторном пространстве, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей \left( \begin{array}{ccc} 4 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1% \end{array}% \right)