Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений \backslash frac\{dx\}\{x(y+z)\}=\backslash frac\{dy\}\{z(z-y)\}=\backslash frac\{dz\}\{y(y-z)\}. В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости и решения, проходящего через точку .

Правильный ответ:

• # Решите изопериметрическую вариационную задачу \int\limits_0^\pi\left[y^2+2y\cos{x}+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=2, \quad y(\pi)=-2, \quad \int\limits_0^\pi y\cos{x}\,dx=\pi. В ответе укажите значение .
• # Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений \left\{ \begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x^2}{y}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{x} \end{array} \right., удовлетворяющее начальным условиям и . В ответе укажите значение .
• # Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 наименьшего порядка , которое имеет следующие частные решения: 1, \quad \cos x. В ответе укажите .
• # Решите неоднородное уравнение y''+y=-\ctg^2{x} методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям , . В ответе укажите значение .
• # Найдите решение краевой задачи: x^2y''+2xy'-12y=0, \quad y(1)=12, \quad y=O(1) \textrm{ при } x \to +\infty В ответе введите его значение при