Главная / Приёмы доказательств в теории графов

Приёмы доказательств в теории графов - ответы на тесты Интуит

Курс рассчитан на заинтересованного теорией графов слушателя. На примере доказательств ряда важных теорем демонстрируются основные методы получения результатов в данной области.

Список вопросов:

# Какой метод использован при доказательстве следующей теоремы? Теорема. Не существует графа без петель и кратных рёбер, вершины которого имеют попарно различные степени. Доказательство. Предположим, что n вершин графа имеют попарно различные степени. Таким образом, граф содержит вершины степеней 0, 1,…, n-1. Наличие вершин степени 0 и n-1 даёт противоречие.
# Какой метод использован при доказательстве следующей теоремы? Теорема. Двудольный граф не содержит циклов нечётной длины. Доказательство. Любому циклу двудольного графа соответствует последовательность вида a(1)b(1)a(2)b(2)…a(1), где a(i) и b(i) - вершины первой и второй долей. Указанная последовательность содержит нечётное число элементов, что соответствует чётной длине цикла.
# Какой метод использован при доказательстве следующей теоремы? Теорема. Любое дерево на n >= 2 вершинах содержит 2 висячие вершины. Доказательство. Рассмотрим цепь наибольшей длины, обратившись к любой из её концевых вершин (A). Если степень A отлична от 1, то существует вершина B, смежная с A и отличная от вершины, смежной с A в цепи. Если B не принадлежит цепи, то цепь не максимальна, что противоречит условию. С другой стороны, B не содержится в цепи, так как это ведёт к образованию цикла в дереве.
# Необходимое условие теоремы Холла есть непосредственное следствие принципа:
# Доказательство истинности критерия Гавела-Хакими осуществляется методом:
# Доказательство теоремы Дирака осуществляется методом:
# В комнате, в которой нет света, разбросано бесконечное число носков 2 цветов. Какое минимальное количество носков, взятых из комнаты, достаточно для составления пары 1 цвета?
# В комнате, в которой нет света, разбросано бесконечное число носков 3 цветов. Какое минимальное количество носков, взятых из комнаты, достаточно для составления пары 1 цвета?
# В комнате, в которой нет света, разбросано бесконечное число носков 4 цветов. Какое минимальное количество носков, взятых из комнаты, достаточно для составления пары 1 цвета?
# Установив взаимно однозначное соответствие с сочетаниями 3 из 10 объектов, определить число треугольников, содержащихся в помеченном графе K10.
# Установив взаимно однозначное соответствие с сочетаниями 4 из 11 объектов, определить число графов K4 , содержащихся в помеченном графе K11.
# Установив взаимно однозначное соответствие с сочетаниями 2 из 15 объектов, определить число рёбер графа K15.
# Всем помеченным деревьям на n вершинах могут быть поставлены в соответствие различные наборы из n-2 натуральных чисел. Наоборот, каждый из указанных наборов соответствует вполне определённому дереву. Каково количество помеченных деревьев на 5 вершинах?
# Всем помеченным деревьям на n вершинах могут быть поставлены в соответствие различные наборы из n-2 натуральных чисел. Наоборот, каждый из указанных наборов соответствует вполне определённому дереву. Каково количество помеченных деревьев на 6 вершинах?
# Всем помеченным деревьям на n вершинах могут быть поставлены в соответствие различные наборы из n-2 натуральных чисел. Наоборот, каждый из указанных наборов соответствует вполне определённому дереву. Каково количество помеченных деревьев на 4 вершинах?
# Сколько помеченных 2,3-графов (двудольных графов с 2 и 3 вершинами в первой и второй долях)?
# Сколько помеченных 3,3-графов (двудольных графов с 3 вершинами в каждой доле)?
# Сколько помеченных 3,2-графов (двудольных графов с 3 и 2 вершинами в первой и второй долях)?
# При каком значении X последовательность 4,X,2,1,1 является разбиением простого графа?
# При каком значении X последовательность 4,X,3,2,2 является разбиением простого графа?
# При каком значении X последовательность 4,3,3,3,X является разбиением простого графа?
# Определить X, если последовательность 7,X,5,3,2,2,2,2 является разбиением простого графа. Рекомендация: использовать критерий Гавела-Хакими более 1 раза, при необходимости упорядочивая образующиеся последовательности.
# Определить X, если последовательность 8,X,6,3,3,2,2,2,2 является разбиением простого графа. Рекомендация: использовать критерий Гавела-Хакими более 1 раза, при необходимости упорядочивая образующиеся последовательности.
# Определить X, если последовательность 9,X,7,3,3,3,2,2,2,2 является разбиением простого графа. Рекомендация: использовать критерий Гавела-Хакими более 1 раза, при необходимости упорядочивая образующиеся последовательности.
# Укажите двудольные графы с паросочетанием из 2 рёбер:
# Укажите двудольные графы с паросочетанием из 2 рёбер:
# Укажите двудольные графы с паросочетанием из 2 рёбер:
# Укажите матрицу, соответствующую двудольному графу:
# Укажите матрицу, соответствующую двудольному графу:
# Укажите матрицу, соответствующую двудольному графу: